Analyse du programme de Mathématiques approfondies de la Prépa ECG 1ère année
Alain Combrouze, ancien élève de l’École normale supérieure de la rue d’Ulm et professeur en classe préparatoire à Saint-Louis et à Ipesup, analyse le nouveau programme de mathématiques approfondies 1ère année de la prépa ECG.
L’enseignement se répartit en deux semestres. Le premier est consacré à des situations plus directement accessibles, à partir des acquis des classes de première et de terminale.
Le second approfondit les notions et les généralise.
1) Enseignements du premier semestre
L’étudiant devra se familiariser raisonnablement, à travers des exemples de situations, avec le vocabulaire de la théorie des ensembles, de la logique, et les schémas classiques de raisonnements.
Les nombres complexes sont supprimés des programmes.
(i) En algèbre, le calcul matriciel, la résolution de systèmes linéaires, l’introduction des vecteurs et espaces vectoriels lui permettront de formaliser des problèmes simples à plusieurs dimensions.
(ii) En analyse, les propriétés élémentaires des nombres réels permettent de rendre plus rigoureuses les notions de limites pour les suites et les fonctions.
L’analyse fournit l’occasion de manipuler des inégalités et des passages à la limite, et donne à l’étudiant l’entrainement à un minimum de technique.
Les notions de continuité et de dérivabilité sont développées, et permettent de rendre rigoureuse la notion d’approximation.
L’intégration est menée en dehors de toute construction théorique, et utilisée notamment en probabilité.
(iii) En probabilité, le premier semestre consolide les connaissances de terminale sur les univers probabilisés finis.
Les notions de conditionnement et d’indépendance sont introduites dans des cadres simples, où il est toutefois déjà nécessaire de recourir à un calcul formalisé.
Les variables aléatoires sont des applications définies sur l’univers de l’expérience aléatoire et permettant une description plus souple des événements.
Les lois classiques vues pendant cette période sont la loi de Bernoulli, la loi binomiale et la loi uniforme.
2) Enseignements du second semestre
(i) En algèbre, les notions vectorielles et les structures associées sont approfondies et font l’objet de résultats utilisables par l’étudiant.
Ainsi, les notions d’espaces vectoriels, de sous-espaces vectoriels et d’applications linéaires sont -elles développées.
De même, le calcul matriciel est repris en liaison avec les notions vectorielles.
(ii) En analyse, les propriétés locales et asymptotiques des suites et des fonctions sont précisées.
Les dérivées d’ordres supérieurs, les développements limités des fonctions, les conditions d’extrema locaux sont étudiés.
De même, des propriétés de convexité sont énoncées. La notion de série, en lien avec les probabilités, est introduite.
(iii) En probabilité, les notions sont généralisées, et la notion d’univers probabilisé englobe le cas d’univers infinis.
La notion de variable aléatoire est étendue au cas des variables aléatoires discrètes.
La loi géométrique et la loi de Poisson sont introduites.
Les situations où interviennent deux variables aléatoires discrètes sont envisagées.
La loi faible des grands nombres et des cas simples de convergence en loi sont abordés.
En revanche, les variables aléatoires continues, à densité, font désormais partie du programme de deuxième année.
3) Enseignements d’informatique
Le langage Python remplace l’environnement Scilab.
Les connaissances exigibles concernent la syntaxe de base (affectations, tests booléens, boucles, fonctions mathématiques élémentaires), la connaissance de quelques commandes issues de librairies de tracés graphiques, de générations aléatoires, d’algèbre linéaire.
La programmation concerne les calculs approchés de limites, de racines d’équation, d’intégrales, et de résolution de systèmes linéaires.
Des simulations d’expériences aléatoires peuvent également être menées.
Ce programme poursuit la philosophie des précédents, en demandant aux étudiants de comprendre et de maîtriser un nombre raisonnable de notions dont l’utilité se révèlera dans leurs domaines d’activité à venir (économie, finance, gestion d’entreprise).
Il met l’accent sur l’appropriation de ces notions, qu’il faut rechercher, plus que sur l’accumulation de connaissances, et donne de nombreuses occasions de renforcer les savoir-faire et les techniques de calculs, indispensables pour une bonne efficacité en mathématiques.